调和曲线图和轮廓图的比较z

原文地址:http://cos.name/2009/03/parallel-coordinates-and-andrews-curve/#more-704

作者:魏太云

多元数据的可视化方法很多,譬如散点图、星图、雷达图、脸谱图、协同图等,大致可分为以下几类:

  1. 基于点(如二维、三维散点图);
  2. 基于线(如轮廓图、调和曲线图);
  3. 基于平面图形(如星图、雷达图、蛛网图);
  4. 基于三维曲面(如三维曲面图)。

其思想是将高维数据映射到低维空间(三维以下)内,尽量使信息损失最少,同时又能利于肉眼辨识。调和曲线图和轮廓图(即平行坐标图)都是多元数据的可视化方法,它们基于“线”的形式,将多元数据表示出来,对于聚类分析有很好的帮助。

1 轮廓图

轮廓图的思想非常简单、直观,它是在横坐标上取\(p\)个点,依次表示各个指标(即变量);横坐标上则对应各个指标的值(或者经过标准化变换后的值),然后将每一组数据对应的点依次连接即可。

lattice包中的parallel()函数可以轻松绘出轮廓图。利用iris数据,以下代码可以画出其轮廓图。

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library(lattice)
data(iris)
parallel(~iris[1:4], iris, groups = Species,
horizontal.axis = FALSE, scales = list(x = list(rot = 90)))

图1 Iris 数据的轮廓图(Parallel Coordinate Plots)

观察上图,可以发现同一品种的鸢尾花的轮廓图粗略地聚集在一起。

2 调和曲线图

调和曲线图的思想和傅立叶变换十分相似,是根据三角变换方法将\(p\)维空间的点映射到二维平面上的曲线上。假设\(X_r\)\(p\)维数据的第\(r\)个观测值,即

\[X_r^T=(x_{r1},\dotsc,x_{rp})\]

则对应的调和曲线是

\[f_r(t)=\frac{x_{r1}}{\sqrt{2}} +x_{r2}\sin t+x_{r3}\cos t+x_{r4}\sin 2 t+x_{r5} \cos 2 t+\cdots\]

其中\(-\pi\leqslant t\leqslant \pi\).

同样利用iris数据,下面代码(主要取自《统计建模与R软件》,尚未优化)可以画出其调和曲线图

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x = as.matrix(iris[1:4])
t = seq(-pi, pi, pi/30)
m = nrow(x)
n = ncol(x)
f = matrix(0, m, length(t))
for (i in 1:m) {
f[i, ] = x[i, 1]/sqrt(2)
for (j in 2:n) {
if (j%%2 == 0)
f[i, ] = f[i, ] + x[i, j] * sin(j/2 * t)
else f[i, ] = f[i, ] + x[i, j] * cos(j%/%2 * t)
}
}
plot(c(-pi, pi), c(min(f), max(f)), type = "n", main = "The Unison graph of Iris",
xlab = "t", ylab = "f(t)")
for (i in 1:m) lines(t, f[i, ], col = c("red", "green3",
"blue")[unclass(iris$Species[i])])
legend(x = -3, y = 15, c("setosa", "versicolor", "virginica"),
lty = 1, col = c("red", "green3", "blue"))
Iris 数据的调和曲线图

Iris 数据的调和曲线图

图2 Iris 数据的调和曲线图

观察上图,同样可以发现同一品种鸢尾花数据的调和曲线图基本上扭在一起。同第一幅图比较后,发现第二幅图更加清楚明白,事实上Andrews证明了调和曲线图有许多良好性质。

3 讨论

轮廓图和调和曲线图有着相近的功能,而技巧大有不同。轮廓图简单却现得粗糙,调和曲线图公式复杂却十分精细。从这一个侧面可以发现直观的统计思想固然重要,但存在很多种不可能通过直观思想得到的、而又非常精细、美妙的方法,此时倍受众多统计学家责难的数学显得优雅而又强大。


谢益辉:正好我前一段时间也写过一个调和曲线图的R函数,发出来分享一下:

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andrews.curve = function(x, n = 101, type = "l", lty = 1,
lwd = 1, pch = NA, xlab = "t", ylab = "f(t)", ...) {
p = ncol(x)
if (is.null(p))
stop("'x' must be a matrix or data.frame!")
if (p < 1)
stop("'x' must have at least one column!")
theta = matrix(seq(-pi, pi, length.out = n), nrow = n, ncol = 1)
if (p == 1) {
a = matrix(x/sqrt(2), nrow = n, ncol = nrow(x), byrow = TRUE)
}
if (p > 1) {
b = matrix(rep(1:(p/2), each = 2, length.out = p - 1),
nrow = 1, ncol = p - 1)
a = cbind(1/sqrt(2), sin(theta %*% b + matrix(rep(c(0,
pi/2), length.out = p - 1), nrow = n, ncol = p -
1, byrow = TRUE))) %*% t(x)
}
matplot(theta, a, type = type, lty = lty, lwd = lwd, pch = pch,
xlab = xlab, ylab = ylab, ...)
}

里面都是以矩阵的形式做的运算,不过我没有测试,不知道速度会不会快一些。对于调和曲线图,观测\(X_i\)\(X_j\)的欧式距离正好是曲线垂直距离的积分,这是数学性质和图形性质能够结合的关键。


魏太云:快很多呢,没有一个显式循环,十分方便:)。调和曲线图的确很好地将数学融进了图形,可谓鬼斧神工啊。


fasterrandrews.curve(x, col=c(‘red’, ‘green3′, ‘blue’))可是画出来的不是很一样:《统计建模与R软件》版的调和曲线的颜色比较友好,相近族类的颜色一样、不同类的颜色不同。 andrews.curve()绘制的曲线颜色是是交替的(一次red,一次green3, 一次blue,依次循环使用),而不是颜色按类聚集,这样画出来的色彩整体很凌乱(颜色重叠后就更变味了)。传入什么控制参数andrews.curve()也能得到一样的效果么?

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