原文地址:http://cos.name/2009/03/parallel-coordinates-and-andrews-curve/#more-704
作者:魏太云
多元数据的可视化方法很多,譬如散点图、星图、雷达图、脸谱图、协同图等,大致可分为以下几类:
- 基于点(如二维、三维散点图);
- 基于线(如轮廓图、调和曲线图);
- 基于平面图形(如星图、雷达图、蛛网图);
- 基于三维曲面(如三维曲面图)。
其思想是将高维数据映射到低维空间(三维以下)内,尽量使信息损失最少,同时又能利于肉眼辨识。调和曲线图和轮廓图(即平行坐标图)都是多元数据的可视化方法,它们基于“线”的形式,将多元数据表示出来,对于聚类分析有很好的帮助。
1 轮廓图
轮廓图的思想非常简单、直观,它是在横坐标上取\(p\)个点,依次表示各个指标(即变量);横坐标上则对应各个指标的值(或者经过标准化变换后的值),然后将每一组数据对应的点依次连接即可。
lattice
包中的parallel()
函数可以轻松绘出轮廓图。利用iris
数据,以下代码可以画出其轮廓图。
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图1 Iris 数据的轮廓图(Parallel Coordinate Plots)
观察上图,可以发现同一品种的鸢尾花的轮廓图粗略地聚集在一起。
2 调和曲线图
调和曲线图的思想和傅立叶变换十分相似,是根据三角变换方法将\(p\)维空间的点映射到二维平面上的曲线上。假设\(X_r\)是\(p\)维数据的第\(r\)个观测值,即
\[X_r^T=(x_{r1},\dotsc,x_{rp})\]
则对应的调和曲线是
\[f_r(t)=\frac{x_{r1}}{\sqrt{2}} +x_{r2}\sin t+x_{r3}\cos t+x_{r4}\sin 2 t+x_{r5} \cos 2 t+\cdots\]
其中\(-\pi\leqslant t\leqslant \pi\).
同样利用iris
数据,下面代码(主要取自《统计建模与R软件》,尚未优化)可以画出其调和曲线图
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图2 Iris 数据的调和曲线图
观察上图,同样可以发现同一品种鸢尾花数据的调和曲线图基本上扭在一起。同第一幅图比较后,发现第二幅图更加清楚明白,事实上Andrews证明了调和曲线图有许多良好性质。
3 讨论
轮廓图和调和曲线图有着相近的功能,而技巧大有不同。轮廓图简单却现得粗糙,调和曲线图公式复杂却十分精细。从这一个侧面可以发现直观的统计思想固然重要,但存在很多种不可能通过直观思想得到的、而又非常精细、美妙的方法,此时倍受众多统计学家责难的数学显得优雅而又强大。
谢益辉:正好我前一段时间也写过一个调和曲线图的R函数,发出来分享一下:
123456789101112131415161718192021 andrews.curve = function(x, n = 101, type = "l", lty = 1,lwd = 1, pch = NA, xlab = "t", ylab = "f(t)", ...) {p = ncol(x)if (is.null(p))stop("'x' must be a matrix or data.frame!")if (p < 1)stop("'x' must have at least one column!")theta = matrix(seq(-pi, pi, length.out = n), nrow = n, ncol = 1)if (p == 1) {a = matrix(x/sqrt(2), nrow = n, ncol = nrow(x), byrow = TRUE)}if (p > 1) {b = matrix(rep(1:(p/2), each = 2, length.out = p - 1),nrow = 1, ncol = p - 1)a = cbind(1/sqrt(2), sin(theta %*% b + matrix(rep(c(0,pi/2), length.out = p - 1), nrow = n, ncol = p -1, byrow = TRUE))) %*% t(x)}matplot(theta, a, type = type, lty = lty, lwd = lwd, pch = pch,xlab = xlab, ylab = ylab, ...)}
里面都是以矩阵的形式做的运算,不过我没有测试,不知道速度会不会快一些。对于调和曲线图,观测\(X_i\)和\(X_j\)的欧式距离正好是曲线垂直距离的积分,这是数学性质和图形性质能够结合的关键。
魏太云:快很多呢,没有一个显式循环,十分方便:)。调和曲线图的确很好地将数学融进了图形,可谓鬼斧神工啊。
fasterr:
andrews.curve(x, col=c(‘red’, ‘green3′, ‘blue’))
可是画出来的不是很一样:《统计建模与R软件》版的调和曲线的颜色比较友好,相近族类的颜色一样、不同类的颜色不同。andrews.curve()
绘制的曲线颜色是是交替的(一次red,一次green3, 一次blue,依次循环使用),而不是颜色按类聚集,这样画出来的色彩整体很凌乱(颜色重叠后就更变味了)。传入什么控制参数andrews.curve()
也能得到一样的效果么?